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Emergences

Lettre d'information n° 12

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En quête de nouvelles méthodes numériques

Comment préserver certaines caractéristiques structurelles des équations dans des modèles numériques toujours plus grands ? Telle est la question que se posent les mathématiciens de Ipso, une équipe de recherche rennaise dirigée par Philippe Chartier. Interview.

Comment préserver certaines caractéristiques structurelles des équations dans des modèles numériques toujours plus grands ? Telle est la question que se posent les mathématiciens de Ipso, une équipe de recherche rennaise dirigée par Philippe Chartier. Interview.

Quelle est la genèse de ce projet ?

Ipso associe des chercheurs de l'Inria, de l'Université de Rennes 1 au sein de l'Irmar, (l'Institut de recherches mathématiques de Rennes), et de  l'antenne Bretagne de l'ENS Cachan. Nous sommes issus d'une équipe qui s'était constituée autour du besoin de mathématiques appliquées pour concevoir des algorithmes adaptés aux nouvelles machines parallèles. Cela avait du sens de faire cohabiter des spécialistes en architectures systèmes et des gens plus orientés vers les mathématiques appliquées.

Et aujourd'hui, où vous positionnez-vous ?

Notre objectif est de concevoir des méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Mais dans une vision générale. Nous ne nous intéressons pas à une application spécifique, mais à certaines classes d'équations qui recouvrent potentiellement diverses applications. Ce travail peut servir à étudier la mécanique céleste ou à simuler, par le calcul informatique, l'évolution d'un système de particules au cours du temps, ce qu'on appelle la dynamique moléculaire.

Donc des mathématiques pas totalement abstraites ?

Absolument . Nous sommes en aval des mathématiques pures : le lien avec les applications n'est jamais rompu. En revanche, nous restons assez méthodologiques.

À partir de là, quelle est votre thématique ?

L'intégration numérique géométrique. En deux mots, nous nous concentrons sur les aspects qualitatifs par opposition aux aspects quantitatifs. Face à une équation différentielle dont il n’est pas possible d’exprimer la solution analytiquement c’est-à-dire à l’aide de fonctions usuelles, il faut recourir à l’approximation numérique. C’est l’intégration numérique classique. La spécificité des méthodes que nous développons au sein d’Ipso est qu’elles prennent en compte les aspects géométriques.

Vous avez donc recours à la simulation ?

Oui. Si on veut intégrer une équation par exemple sur un horizon temporel d'une année, on va découper celle-ci en jours, les jours en heures, etc. À chaque début d'heure, on détermine la pente de la solution à partir de l’équation. Ensuite, on suit cette pente pendant une heure. De cette manière, et comme l’affirment des théorèmes très classiques, on approche la solution. Mais pour le faire très précisément, il faut y mettre le prix. Redécouper les heures en minutes, les minutes en secondes, etc. Cela commence à faire beaucoup de calcul.

Est-ce à dire que, pour certaines applications, cette approche ne suffit plus ?

Exactement. Le ratio entre le pas de temps que nous sommes conduits à prendre et l'intervalle, l'horizon sur lequel nous travaillons, est si faible que ce n'est plus praticable. Imaginons que des astronomes veuillent  simuler le système planétaire pour savoir si deux planètes ne vont pas entrer en collision. La question n'est pas d'une urgence brûlante, mais elle demeure très intéressante. Sur des durées très longues, le système semble stable. Donc, il faut aller voir à une autre échelle. Pour cela, on pousse tellement loin, que si l'on entreprend les calculs exigés avec une philosophie quantitative classique, et bien nous n'y arrivons pas. Hors de portée. Trop de calcul. Il faut donc changer de philosophie. Les chercheurs de l'Observatoire de Paris l'ont bien compris, qui utilisent des méthodes symplectiques !

Vous optez alors pour l'intégration géométrique. En quoi consiste-t-elle ?

Nous abandonnons cette idée d'approcher précisément la trajectoire. En contrepartie, nous construisons des schémas numériques qui reproduisent certaines des propriétés de la solution exacte. Nous savons par exemple que les solutions de certaines équations sont symétriques. Il est donc souhaitable que l'approximation numérique fournie par l'analyste numéricien préserve cette symétrie. Autre exemple : beaucoup de systèmes mécaniques sont hamiltoniens. L'hamiltonien, en pareil cas, représente l'énergie du système. Nous savons qu'en l'absence de frottement ou de dissipation, il y a conservation de l’énergie. Principe physique. D'un point de vue mathématique, même si nous ne savons pas les calculer, nous savons que les solutions exactes de ces équations vont préserver l'énergie : en observant l'évolution de l'énergie le long d'une solution, nous constatons qu’il y a conservation. Maintenant, si nous prenons n'importe quelle méthode venue, la méthode d’Euler décrite ci-avant ou d'autres plus précises, nous aurons beau payer un prix considérable, nous aurons quand même une dérive dans l'énergie. Autrement dit, petit à petit, l'énergie va croître ou décroître. Or, physiquement, cela ne fait pas sens.

Avec d'autres méthodes, ces propriétés resteraient-elles indemnes ?

Oui. Les méthodes symétriques préservent la réversibilité en temps. Les méthodes dites symplectiques préservent la structure symplectique, mais aussi l'énergie. Il y a donc un certain nombre de propriétés que nous pouvons préserver en construisant des intégrateurs et des méthodes numériques ad hoc. C'est possible. Pour les chercheurs, la question devient alors : comment approcher numériquement des solutions de manière à respecter des critères qualitatifs ? C'est cela qu'on entend par intégration géométrique. Et c'est tout un domaine qui s'est ouvert il y a 25 ans pour les équations différentielles ordinaires et, beaucoup plus récemment encore, pour les équations aux dérivées partielles.

 Afin d'explorer ces nouvelles constructions théoriques, l'équipe de recherche Ipso a choisi pour domaines d'application la simulation moléculaire de processus chimiques et la simulation des interactions laser-matière. Mais ses travaux ont une portée plus vaste. Ses alternatives de calcul ouvrent un nouvel horizon dans bien des domaines de la modélisation par ordinateur.