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Emergences

Lettre d'information n° 18

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A la poursuite du temps long

Mathématicien rennais membre de l'équipe Ipso*, Erwan Faou vient d'être distingué par le Conseil européen pour la recherche. L'ERC lui attribue une subvention pour approfondir le lien entre mathématiques et simulation numérique. Rencontre avec un passeur de problèmes.

Chercheur Inria membre de l'équipe - projet Ipso*, Erwan Faou vient d'être distingué par le Conseil européen pour la recherche. L'ERC lui attribue une subvention pour approfondir le lien entre mathématiques et simulation numérique. Rencontre avec un passeur de problèmes.

 

En mathématique appliquée, deux problèmes demeurent foncièrement épineux. Celui de la mécanique des fluides. Et celui du temps long. “Si l'on veut étudier le système solaire sur des millions d'années, par simulation numérique, ce n'est pas du tout simple, prévient Erwan Faou. Le calcul engendre un coût considérable. A supposer même que la science y parvienne. Dans les années 1990, les chercheurs se sont rendu compte qu'une des clés pour l'astronomie consistait à conserver la structure mathématique. Ne pas se focaliser sur une trajectoire bien précise, mais plutôt garder une vue de l'ensemble de la géométrie du système. Pour aller plus loin dans le temps, ils ont fait le deuil de la précision avec l'espoir de mieux préserver les lois de la physique. Ces équations possèdent toutes une structure mathématique très forte qui repose sur un socle de réalités physiques assez difficiles à reproduire numériquement.

Pour les scientifiques, le défi est double.  “D'un point de vue numérique : trouver les  bonnes méthodes. Et sur le plan théorique : arriver à comprendre ces équations. Naturellement, tous deux vont de pair. Moi, ce que je propose se situe entre les deux : exploiter la logique mathématique pour avoir de bons schémas numériques. Puis, à l'inverse, utiliser ces schémas pour faire des simulations en temps très long et éventuellement trouver de nouveaux phénomènes non linéaires.

Simplifiées mais incompréhensibles

L'enjeu affecte en réalité de multiples domaines. Un des problèmes récurrents concerne les transferts d'énergie. “Prenons une turbulence, un vortex quelconque. On démarre d'un système très simple. Mais énormément de petits phénomènes viennent s'y greffer. On peut voir cela comme de l'énergie qui passe d'une grande à une petite échelle. Comprendre ce mécanisme demeure extrêmement ardu. En l'état actuel, le schéma numérique ne reproduit pas le mécanisme de préservation de l'énergie. Et cela en raison d'un manque de structure. C'est si compliqué que le moindre petit pas dans cette direction est bon à prendre. Il y a des gens qui travaillent sur des cas pratiques. Pour ma part, je me concentre sur les équations académiques : des modèles simplifiés, mais encore incompréhensibles et que nous espérerons mieux cerner d'un point de vue mathématique.

Mais il ne s'agit pas d'un travail en vase clos. “Il se nourrit d'un échange d'expériences entre les différentes familles de chercheurs. Nous nous efforçons de tisser ce lien entre les mathématiciens purs et les spécialistes de la physique numérique. Nous servons de passerelle entre les uns et les autres. Nous transportons leurs problèmes respectifs. Et au passage, nous glanons des idées à droite et à gauche. Nous utilisons tout l'arsenal des mathématiques pures pour élaborer de bons schémas et apporter une expertise auprès des utilisateurs de  la simulation. Nous pouvons leur dire : toi, tu utilises un calcul gigantesque, mais à mon avis cela ne vaut pas le coup. Car sur des cas idéalisés, on peut montrer par exemple que ce n'est pas là qu'est le point important.

Si les problèmes sont bien identifiés, les approches, elles, demeurent diverses. “Le spécialiste de physique numérique veut une grosse simulation très précise et très performante. Le mathématicien, lui, souhaite un vrai résultat, éventuellement sur une équation un peu modifiée, un peu plus simple. Mais je crois que les deux restent liés. On retombe souvent sur les mêmes problèmes universels. Plus on comprend les équations, plus on dispose de méthodes de travail en simulation. Plus on simule, plus on comprend les mathématiques.

Un pôle identifiable sur ce thème de recherche

Dans les cinq ans à venir, “la subvention de l'ERC va me permettre de contribuer à établir ce dialogue entre théoriciens et numériciens. Je  vais inviter des experts, proposer des ateliers... J'envisage aussi une plate-forme numérique : un endroit où l'on code et l'on dissèque quelques équations bien précises que tout le monde reconnaît comme très laborieuses. Nous n'irons pas simuler un écoulement autour d'un Airbus ou quoi que ce soit d'aussi appliqué. Nous étudierons les équations des fluides dans un cas idéalisé en testant à fond toutes les méthodes possibles et imaginables. Nous chercherons la plus performante. Nous verrons quels sont les phénomènes physiques qui survivent... Beaucoup de gens sont demandeurs d'une telle plate-forme.

Notes :
* Ipso est une équipe - projet du centre Inria Rennes - Bretagne Atlantique commune entre Inria, Rennes 1 et le CNRS, et est également au sein de l'IRMAR.

(1) Le projet est baptisé Geopardi : Numerical Integration of Geometric Partial Differential Equations.